O Enigma do Número 37

Multiplique o número 37 por qualquer múltiplo de 3, entre 3 e 27. O resultado será sempre um número com algarismos repetidos. Por quê?

À primeira vista, pode parecer apenas uma coincidência curiosa, mas esse comportamento é perfeitamente explicável.

Vamos observar os produtos abaixo.

37 × 3  = 111  

37 × 6  = 222  

37 × 9  = 333  

37 × 12 = 444  

37 × 15 = 555  

37 × 18 = 666  

37 × 21 = 777  

37 × 24 = 888  

37 × 27 = 999  

Em cada caso, o produto é composto por três dígitos iguais, esse dígito repetido é exatamente o resultado da divisão do multiplicador por 3. Por exemplo:

• Em 37 × 6 = 222, temos que 6 ÷ 3 = 2;
• Em 37 × 24 = 888 , temos que 24 ÷ 3 = 8.

Mas por que isso acontece?

Temos que observar como esses resultados se relacionam com os chamados números repunit. Um repunit é um número composto apenas pelo dígito 1 repetido (como 11, 111, 1111, etc.).

O número 111, por exemplo, é o primeiro número da nossa sequência de produtos. Ele pode ser expresso como:

111 = 3 × 37

Portanto, todos os demais resultados da lista são simplesmente múltiplos de 111:

222 = 2 × 111

333 = 3 × 111

444 = 4 × 111

 …

999 = 9 × 111

Ou seja, multiplicar 37 por um múltiplo de 3 entre 3 e 27 é o mesmo que multiplicar 111 por um número de 1 a 9 (justamente o resultado da divisão do multiplicador por 3). O que parece um truque numérico é, na verdade, uma propriedade algébrica.

37 × 3  = 111  

37 × (2 × 3)  = 222  

37 × (3 × 3)  = 333  

37 × (4 × 3) = 444  

37 × (5 × 3) = 555  

37 × (6 × 3) = 666  

37 × (7 × 3) = 777  

37 × (8 × 3) = 888  

37 × (9 × 3) = 999