Desvendando as Partições de um Inteiro

O que são Partições de Inteiros?

Imagine que você tem um número de objetos idênticos e quer descobrir de quantas maneiras diferentes você pode agrupá-los. Essa é a base do conceito de partições de um inteiro. Uma partição é uma forma de representar um número inteiro positivo como uma soma de outros inteiros positivos. Por convenção, a ordem das parcelas não importa, e as representamos em ordem decrescente.

Exemplo: Partições de n=5

Para o número 5, existem sete partições possíveis, que são listadas a seguir. O número de partições de um inteiro 'n' é denotado pela função $p(n)$, então, para este exemplo, temos $p(5) = 7$.

  • 5
  • 4 + 1
  • 3 + 2
  • 3 + 1 + 1
  • 2 + 2 + 1
  • 2 + 1 + 1 + 1
  • 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Visualizando Partições: Diagramas de Ferrers

Para tornar as partições mais fáceis de entender, usamos uma representação visual chamada Diagrama de Ferrers. Ele é construído com pontos (ou caixas) dispostos em linhas, onde cada linha representa uma das parcelas da partição. Por exemplo, a partição $7 = 3+2+1+1$ é representada por 4 linhas com 3, 2, 1 e 1 pontos, respectivamente.

Partições Conjugadas e Autoconjugadas

Uma propriedade fascinante do Diagrama de Ferrers é a **partição conjugada**, obtida ao "ler" as colunas do diagrama como se fossem novas linhas. Isso equivale a transpor o diagrama. Por exemplo, a partição conjugada de $7=3+2+1+1$ é $7=4+2+1$. Uma partição é **autoconjugada** se for idêntica à sua conjugada, o que significa que o seu diagrama é simétrico. Um fato interessante é que o número de partições autoconjugadas de 'n' é igual ao número de partições de 'n' em partes ímpares e distintas.

A Função de Partição $p(n)$

A função $p(n)$ denota o número de partições de um inteiro $n$. Esta sequência de números cresce rapidamente e tem uma presença significativa na física e em outras áreas da matemática. Matemáticos como G.H. Hardy e Srinivasa Ramanujan desenvolveram uma fórmula assintótica para estimar $p(n)$ para valores grandes, mostrando seu crescimento exponencial. Para $n$ tendendo ao infinito, $p(n)$ é aproximadamente $$\frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}$$

Valores Iniciais de $p(n)$

A seguir, estão os primeiros valores da função de partição:

  • $p(1) = 1$
  • $p(2) = 2$
  • $p(3) = 3$
  • $p(4) = 5$
  • $p(5) = 7$
  • $p(6) = 11$
  • $p(7) = 15$
  • $p(8) = 22$

A Identidade de Euler

Leonhard Euler descobriu uma identidade notável que liga dois tipos específicos de partições. A Identidade de Euler afirma que o número de partições de um inteiro $n$ em partes distintas (onde todas as parcelas são diferentes) é igual ao número de partições de $n$ em partes ímpares (onde todas as parcelas são números ímpares).

Exemplo: Identidade de Euler para n=5

Para $n=5$, as partições em partes distintas são:

  • 5
  • 4 + 1
  • 3 + 2

O número total de partições em partes distintas é 3.

Para $n=5$, as partições em partes ímpares são:

  • 5
  • 3 + 1 + 1
  • 1 + 1 + 1 + 1 + 1

O número total de partições em partes ímpares também é 3. Isso confirma a identidade de Euler.

Calculadora de Partições

Use a ferramenta interativa abaixo para explorar as partições de um inteiro e seus Diagramas de Ferrers. Insira um número de 1 a 10 e veja todas as partições possíveis, seus diagramas e suas partições conjugadas.

Gerador de Partições e Diagramas de Ferrers

Aplicações em Combinatória

As partições de inteiros são fundamentais em diversas áreas da matemática, especialmente em problemas de combinatória, como a distribuição de objetos. O número de maneiras de arranjar $r$ objetos idênticos em $n$ recipientes idênticos, sem que nenhum recipiente fique vazio, é dado pela função de partição $p(r, n)$.

Referências

AZENHAS, Olga. Matemática Discreta: Enumeração. Coimbra: Universidade de Coimbra, 2024.

DU SAUTOY, Marcus. A Música dos Números Primos. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2007.

LUCAS, George. Introdução à teoria das partições de inteiros. In: XXIII SEMANA OLÍMPICA – Nível 3.

MIÉR, Anna de. Lecture notes for “Enumerative Combinatorics”. Oxford: University of Oxford, 2006.

PELLEGRINI, Jerônimo C. Complemento para a disciplina de Matemática Discreta.