Números Repdigits e Repunits

O que são Repdigits?

Um repdigit é um número natural composto pela repetição de um mesmo dígito, geralmente no sistema decimal. Exemplos comuns incluem 11, 666, 4444, 77777 e 999999. Matematicamente, um repdigit pode ser representado pela fórmula [m]\mathbf{x \times \frac{B^y - 1}{B - 1}}[/m], onde x é o dígito repetido (com 0 < x < B), B é a base numérica e y é o número de repetições. Por exemplo, o repdigit 77 na base 10 é [m]7 \times \frac{10^2 - 1}{10 - 1}[/m]. A palavra "repdigit" é uma contração de "repeated digit" (dígito repetido).

Repunits

Os repunits são um caso especial de repdigits. O termo repunit foi cunhado por Albert H. Beiler em 1966 e refere-se especificamente a números formados pela repetição exclusiva do dígito 1. Assim, 1, 11, 111, 1111 são exemplos de repunits (na base 10). Em geral, um repunit em uma base B é definido como [m]\mathbf{\frac{B^n - 1}{B - 1}}[/m], onde n é o número de repetições do dígito 1 e B é a base numérica ([m]B \geq 2, n \geq 1[/m]). Para a base decimal (B = 10) um repunit é dado por [m]\mathbf{\frac{10^n - 1}{9}}[/m]. Por exemplo, 11 pode ser escrito como [m]\frac{10^2 - 1}{9}[/m], e um número com n algarismos iguais a 1 pode ser escrito como [m]\frac{10^n - 1}{9}[/m]. É fácil ver que todos os repdigits são múltiplos de repunits, por exemplo, 4444 pode ser escrito como [m]4 \times 1111[/m].

Algumas propriedades e aplicações

Divisibilidade: Uma das propriedades mais notáveis é que [m](a^n - 1)[/m] é sempre divisível por (a - 1). Isso pode ser visualizado na base-a, onde [m](a^n)[/m] é representado como 1 seguido por $n$ zeros, e ao subtrair 1, o resultado é um número composto por $n$ repetições do dígito (a - 1), que é claramente divisível por (a - 1). Outra forma de provar essa divisibilidade é através do Teorema do Fator, que estabelece que (a - 1) é um fator de um polinômio [m]f(a)[/m] se [m]f(1) = 0[/m]. Para [m]f(a) = a^n - 1[/m], [m]f(1) = 1^n - 1 = 0[/m], logo (a - 1) é um fator.

• Critérios de Divisibilidade Específicos:
• Se $n$ é um múltiplo de 3, então [m]R_n[/m] também é, e [m]R_{3}(111)[/m] divide [m]R_{n}[/m].
• Se $n$ é um número par, [m]R_{n}[/m] é múltiplo de [m]R_{2}(11)[/m].
• Para qualquer inteiro [m]k \geq 1[/m], se n é múltiplo de k, então [m]R_n[/m] é múltiplo de [m]R_{k}[/m].
• Divisibilidade por Primos: Para qualquer número primo$p maior que 5, existe sempre um repunit que é divisível por p, especificamente, [m]R_{p-1}[/m].
• Primalidade: Um repunit [m]R_{n}[/m] pode ser primo apenas se $n$ for um número primo. No entanto, o contrário não é verdadeiro; por exemplo, [m]R_{3} = 111 = 3 \times 37[/m] e [m]R_{5} = 11111 = 41 \times 271[/m], e ambos são compostos, embora 3 e 5 sejam primos. Os primos repunits decimais conhecidos são para n = 2, 19, 23, 317 e 1031.
• Não são quadrados perfeitos: Com exceção de [m]R_{1} = 1[/m], nenhum outro repunit é um quadrado perfeito ou a soma de dois quadrados perfeitos. Além disso, nenhum repunit é par ou múltiplo de 5, pois não terminam em 0, 2, 4, 6, 8 ou 5.