O Desafio da Conjectura de Goldbach

Um desafio aparentemente simples, que até uma criança poderia entender, mas que tem frustrado alguns dos maiores gênios da matemática por quase 300 anos. Este é o enigma da Conjectura de Goldbach.

"Todo número par maior que dois pode ser escrito como a soma de dois números primos".

Vamos a alguns exemplos para ilustrar:

  • Para o número par 6, temos 3 + 3.
  • Para 10, podemos ter 5 + 5 ou 7 + 3.
  • E para 42, um número conhecido por ter um significado especial para os entusiastas da ficção científica, ele pode ser expresso como 5 + 37, 11 + 31, 13 + 29 ou 19 + 23.

À medida que exploramos números pares maiores, percebemos que eles não apenas parecem sempre ser a soma de dois primos, mas também oferecem cada vez mais combinações possíveis. A questão, porém, reside em provar que isso sempre acontece, independentemente do quão grande seja o número par escolhido.

A Conjectura de Goldbach tem suas raízes no século XVIII, com o matemático prussiano Christian Goldbach. Ele estudou medicina e direito antes de se aprofundar na matemática e, em 1727, conheceu Leonhard Euler na recém-formada Academia de Ciências de São Petersburgo. Unidos por uma paixão compartilhada pela teoria dos números, Goldbach e Euler mantiveram uma extensa correspondência por 35 anos.

Foi em uma dessas cartas, em 7 de junho de 1742, que Goldbach rascunhou a ideia original: todo número inteiro maior que dois pode ser escrito como a soma de três primos. Euler ficou intrigado, mas acreditou que a ideia poderia ser refinada. Ele propôs duas conjecturas separadas:

  • Conjectura Fraca de Goldbach: "Todo número ímpar maior que cinco pode ser escrito como a soma de três primos".
  • Conjectura Forte de Goldbach: "Todo número par maior que dois pode ser escrito como a soma de dois primos".

A Conjectura Forte é chamada assim porque, se provada, ela automaticamente validaria a Conjectura Fraca (basta adicionar 3 a cada soma de dois primos para obter os números ímpares). Euler considerava a conjectura "um teorema completamente certo, embora ainda não provado".

Por quase 150 anos, pouco progresso foi feito. No entanto, em 1900, o eminente matemático alemão David Hilbert incluiu a Conjectura de Goldbach como um dos 23 problemas mais importantes para o século XX, recolocando-a no centro das atenções da comunidade matemática.

A Busca Incansável por uma Prova

A dificuldade da Conjectura de Goldbach reside na natureza elusiva dos números primos. Eles são os "átomos da aritmética", mas sua distribuição parece caótica e aleatória, sem um padrão óbvio que permita prever o próximo número ou encontrar uma fórmula que os gere. Essa imprevisibilidade torna desafiador provar uma regra para todos os números pares.

Matemáticos como G.H. Hardy e John Littlewood, no início do século XX, desenvolveram o "método do círculo" para estimar o número de maneiras de expressar um número como soma de primos. Suas estimativas sugeriam que o número de combinações cresce para números pares cada vez maiores, fortalecendo a crença na conjectura. No entanto, isso era uma estimativa, não uma prova formal, e, como eles próprios apontavam, "é apenas a prova que conta".

Um avanço significativo para a Conjectura Fraca ocorreu em 1937, quando o matemático russo Ivan Vinogradov conseguiu provar que ela era válida para números ímpares "suficientemente grandes", sem depender de outras hipóteses não provadas. Embora ele não especificasse o tamanho exato desse "suficientemente grande" inicialmente, trabalhos posteriores o reduziram drasticamente. Em 2013, o matemático peruano Harold Helfgott finalmente resolveu a Conjectura Fraca de Goldbach, provando que todo número ímpar maior que cinco pode ser escrito como a soma de três primos, verificando por computador até 8,8*10^30 e refinando a matemática para os números maiores.

Para a Conjectura Forte, o maior progresso foi feito pelo matemático chinês Chen Jingrun. Em 1966, ele demonstrou que todo número par suficientemente grande é a soma de um número primo e um número que é ou um primo ou o produto de exatamente dois primos (um semiprimo). 

Apesar desses avanços impressionantes, a Conjectura Forte de Goldbach, que lida com a soma de dois primos, permanece sem solução. Os métodos atuais não parecem ser suficientes, e muitos acreditam que será necessária uma técnica ou abordagem fundamentalmente nova para resolvê-la.


Referências

CHEN'S THEOREM. In: Let's prove Goldbach!

SAUTOY, Marcus du. A Música dos Números Primos: por que um problema não resolvido em matemática importa. Tradução de Diego Alfaro. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2008.