Gerador de Partições e Diagrama Ferrers

Gerador de Partições e Diagramas de Ferrers

Insira um número inteiro (n ≤ 10):

O conceito de Partições de Inteiros é um tema central na combinatória e na teoria dos números. Uma partição de um inteiro positivo n é uma forma de representá-lo como uma soma de inteiros positivos. Por exemplo, o número 5 pode ser particionado como 5, 4+1, 3+2, e assim por diante. A ordem das parcelas não importa, então 4+1 e 1+4 são a mesma partição.

A quantidade de partições de um inteiro n é denotada pela função $p(n)$. O número de partições cresce rapidamente com n. Por exemplo, $p(5) = 7$.

Diagramas de Ferrers:

Para visualizar as partições, usamos os Diagramas de Ferrers. Cada partição é representada por uma matriz de pontos ou caixas alinhadas à esquerda, onde cada linha corresponde a uma parcela. Por exemplo, a partição $7 = 3+2+1+1$ é representada por:

$$ \begin{matrix} \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet \\ \bullet \\ \bullet \end{matrix} $$

Uma propriedade notável desses diagramas é que eles nos permitem encontrar a **partição conjugada**, obtida ao "ler" as colunas em vez das linhas. A partição conjugada de $3+2+1+1$ é $4+2+1$. Uma partição é dita **autoconjugada** se for igual à sua conjugada, como no caso de $6 = 3+2+1$.

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Identidade de Euler:

Leonhard Euler descobriu uma identidade fascinante que afirma que o número de partições de um inteiro em **partes distintas** é igual ao número de partições do mesmo inteiro em **partes ímpares**. Por exemplo, para $n=5$:

• Partições em partes distintas: $5, 4+1, 3+2$ (total de 3)
• Partições em partes ímpares: $5, 3+1+1, 1+1+1+1+1$ (total de 3)

Essa identidade demonstra uma conexão profunda e inesperada na combinatória.

Fórmula de Hardy-Ramanujan:

Apesar da dificuldade em encontrar uma fórmula exata e simples para $p(n)$, matemáticos como G.H. Hardy e Srinivasa Ramanujan desenvolveram uma fórmula assintótica que estima o valor de $p(n)$ para grandes n:

$$p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}$$

Essa fórmula revela o quão rapidamente o número de partições cresce, mostrando a complexidade e a beleza da teoria dos números.

Saiba muito mais em Desvendando as Partições de um Inteiro